= n ESTYMACJA PUNKTOWA. 1. Estymacja punktowa dla wartości średniej - określanie błędu standardowego s s sˆ n

Transkrypt

1 ESTYMACJA PUNKTOWA 1. Estymacja puktwa dla wartści średiej - kreślaie błędu stadardweg s s sˆ s( x) = = 1 k k 1 s( p*) = = p * q * Zad. 1. Oblicz średi błąd szacwaia s raz przecięty błąd względy v dla piższej zmieej X LP X x-xave SUMA 60.2 X (x- Xave)^2 Zad 2. Załóżmy, że w ciągu 10 lat pmiarów (jedyie takimi dyspujemy) rzeka X wylała jesieią 4 razy. Ile razy rzeka wyleje w ciągu 100 lat. Określ średi błąd szacwaia częstści wylaia rzeki X. Pwtórz bliczeia przy załżeiu, że dyspujemy 30 latami pmiarów i w ciągu teg kresu rzeka X wylała 12 razy.

2 ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA ŚREDNIA ) ) s s P X tα µ X + tα = 1 α gdzie: t α jest wartścią zmieej lswej rzkładzie t-studeta z -1 stpiami swbdy a isttści α S S P X zα µ X + zα = 1 α 1 1 gdzie: z α jest wartścią zmieej lswej rzkładzie Z z -1 stpiami swbdy a pzimie isttści α ODCHYLENIE STANDARDOWE P σ S S = 1 α u2 u 1 Pwyższy wzór ależy stswać d małych prób rzkładzie rmalym wartści u 1 i u 2 dczytujemy z tablic rzkładu χ 2 tak aby P(χ 2 <u 1)=1-P(χ 2 u 2)=α/2 raz P(χ 2 >u 2)= α/2 Zad. 3. Wykrzystując dae z Zad. 1 Oblicz przedział ufści dla dchyleia stadardweg dla pzimów ufści: a) 0,95 b) 0,99. Zad. 4. Załóżmy, że w próbie =125 kreśl wartść średią x wyszącą 26,25. Odchyleie stadardwe s wysi 12,05. Oblicz przedział ufści średiej dla pzimów ufści: a) 0,95 b) 0,99

3 Zestaw zadań wzmaciając dłujących dśie estymacji przedziałwej zaleziy :-) przypadkiem a ecie Zadaie 1 W zakładzie X dla 16 wybraych lsw pracwików trzyma astępujące ifrmacje zatrudiych: Wiek pracwików Liczba pracwików a) Zakładając, że rzkład wieku jest rmaly, wyzaczyć przedział ufści dla przecięteg wieku pracwików teg zakładu, jeśli pzim ufści wysi 0,98. b) Traktując pwyższe dae jak wyiki wstępej próby bliczyć, jaka pwia być właściwa liczebść próby, aby szacwać przecięty wiek pracwika z dpuszczalym błędem cey 2 lata a pzimie ufści 0,98. Jaka pwia być liczebść próby, jeśli załżymy dpuszczaly błąd cey = 1 rk? c) Jaki przedział trzymamy zakładając, że wiek ma rzkład rmaly pracwików N(m, 3) i pzim ufści wysi 0,98? d) Wyzaczyć przedział ufści dla dchyleia stadardweg wieku pracwików a pzimie ufści 0,90 przy załżeiu, że wiek ma rzkład N(m, σ). Zadaie 2 W 49-elemetwej próbie lswej rbtików trzyma x = 120 jedrdych peracji wykaych w ciągu 1 dia przy współczyiku zmieści 8%. Przyjmując pzim ufści 0,95 wyzaczyć metdą przedziałwą przeciętą liczbę peracji w zbirwści geeralej rbtików. Zadaie 3 Jaka pwia być miimala liczebść próby, iezbęda d szacwaia dsetka ucziów zmierzających p maturze pdjąć studia, jeśli w klasie liczącej 40 ucziów 70% zamierza ktyuwać aukę w szkle wyższej (przyjąć pzim ufści 0,9 i maksymaly błąd szacuku 5%). Jak zmiei się szacwaa liczebść próby, jeśli w badaej klasie tylk 50% ucziów będzie miał w plaie ktyuwać aukę? Zadaie 4 Dwuastu tkarzy wykuje takie same części. Ich średie wydajści w sztukach a gdzię wyszą dpwiedi: 4,6; 6,1; 10,3; 9,8; 6,7; 12,3; 14,5; 8,7; 9,0; 7,3; 8,8; 11,2. Zaleźć realizację przedziału ufści dla wartści przeciętej i wariacji liczby sztuk wykywaych w ciągu gdziy przez jedeg tkarza a pzimie ufści 0,98. Zadaie 5 Zapyta 200 lsw wybraych przedstawicieli rdzi, kt pdejmuje pważiejsze decyzje fiaswe? W 64% tych rdzi decyzje pdejmuje małżka. Jaki jest 99% przedział ufści dla dsetka rdzi, w których decyzje pdejmuje małżek?

4 Zadaie 6 Ntwa lsw czas pświęcy przez klietów baku a załatwieie frmalści przy kieku kaswym i uzyska astępujące wyiki w miutach: 16, 18, 9, 11, 10, 13, 19, 18, 17, 15. a) szacwać przecięty czas przezaczy przez klietów teg baku a załatwieie frmalści w kieku kaswym (1 α= 0,95); b) ceić stpień zróżicwaia badaeg czasu bsługi klietów; c) traktując pwyższą próbę jak wstępą, bliczyć, ile bserwacji czasu ależałby lsw przeprwadzić, aby szacwać przecięty czas z wiarygdścią 0,90 (0,99) i maksymalym błędem szacuku 2 miuty. Zadaie 7 Na egzamiie wstępym a studia plitechicze stsway jest iekiedy test spstrzegaia kształtów. Dla wybraych w lswaiu iezależych 200 kadydatów pewej uczeli trzyma astępujące wyiki: Wyiki testu (w pkt) Liczba sób Oszacwać z wiarygdścią 0,99: a) średi wyik testu spstrzegaia kształtów wśród kadydatów tej uczeli, b) stpień zróżicwaia wyików testu w tej zbirwści. <x i,x i1 > i x i x i i 2 2 i x x i x i x Σ 200 X X

5 Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990

6 Tablica wartści krytyczych rzkładu dla liczby stpi swbdy 0,10 0,05 0,01 0,01 0, ,71 3,84 6,63 7,88 10, ,61 5,99 9,21 10,60 13, ,25 7,81 11,34 12,84 16, ,78 9,49 13,28 14,86 18, ,24 11,07 15,09 16,75 20, ,64 12,59 16,81 18,55 22, ,02 14,07 18,48 20,28 24, ,36 15,51 20,09 21,96 26, ,68 16,92 21,67 23,59 27, ,99 18,31 23,21 25,19 29, ,28 19,68 24,73 26,76 31, ,55 21,03 26,22 28,30 32, ,81 22,36 27,69 29,82 34, ,06 23,68 29,14 31,32 36, ,31 25,00 30,58 32,80 37, ,54 26,30 32,00 34,27 39, ,77 27,59 33,41 35,72 40, ,99 28,87 34,81 37,16 42, ,20 30,14 36,19 38,58 43, ,41 31,41 37,57 40,00 45, ,62 32,67 38,93 41,40 46, ,81 33,92 40,29 42,80 48, ,01 35,17 41,64 44,18 49, ,20 36,42 42,98 45,56 51, ,38 37,65 44,31 46,93 52, ,56 38,89 45,64 48,29 54, ,74 40,11 46,96 49,64 55, ,92 41,34 48,28 50,99 56, ,09 42,56 49,59 52,34 58, ,26 43,77 50,89 53,67 59, ,42 44,99 52,19 55,00 61, ,58 46,19 53,49 56,33 62, ,75 47,40 54,78 57,65 63, ,90 48,60 56,06 58,96 65, ,06 49,80 57,34 60,27 66, ,21 51,00 58,62 61,58 67, ,36 52,19 59,89 62,88 69, ,51 53,38 61,16 64,18 70, ,66 54,57 62,43 65,48 72, ,81 55,76 63,69 66,77 73, ,95 56,94 64,95 68,05 74, ,09 58,12 66,21 69,34 76, ,23 59,30 67,46 70,62 77, ,37 60,48 68,71 71,89 78, ,51 61,66 69,96 73,17 80, ,64 62,83 71,20 74,44 81, ,77 64,00 72,44 75,70 82, ,91 65,17 73,68 76,97 84, ,04 66,34 74,92 78,23 85, ,17 67,50 76,15 79,49 86, ,30 68,67 77,39 80,75 87, ,42 69,83 78,62 82,00 89, ,55 70,99 79,84 83,25 90, ,67 72,15 81,07 84,50 91, ,80 73,31 82,29 85,75 93, ,92 74,47 83,51 86,99 94, ,04 75,62 84,73 88,24 95, ,16 76,78 85,95 89,48 97, ,28 77,93 87,17 90,72 98, ,40 79,08 88,38 91,95 99, ,51 80,23 89,59 93,19 100, ,63 81,38 90,80 94,42 102, ,75 82,53 92,01 95,65 103, ,86 83,68 93,22 96,88 104, ,97 84,82 94,42 98,11 105, ,09 85,96 95,63 99,33 107, ,20 87,11 96,83 100,55 108, ,31 88,25 98,03 101,78 109, ,42 89,39 99,23 103,00 111, ,53 90,53 100,43 104,22 112, ,64 91,67 101,62 105,43 113, ,74 92,81 102,82 106,65 114, ,85 93,95 104,01 107,86 116, ,96 95,08 105,20 109,07 117, ,06 96,22 106,39 110,29 118, ,17 97,35 107,58 111,50 119, ,27 98,48 108,77 112,70 121, ,37 99,62 109,96 113,91 122, ,48 100,75 111,14 115,12 123, ,58 101,88 112,33 116,32 124, ,68 103,01 113,51 117,52 126, ,78 104,14 114,70 118,73 127, ,88 105,27 115,88 119,93 128, ,98 106,40 117,06 121,13 129, ,10 0,05 0,01 0,01 0, ,08 107,52 118,24 122,33 131, ,18 108,65 119,41 123,52 132, ,28 109,77 120,59 124,72 133, ,37 110,90 121,77 125,91 134, ,47 112,02 122,94 127,11 135, ,57 113,15 124,12 128,30 137, ,66 114,27 125,29 129,49 138, ,76 115,39 126,46 130,68 139, ,85 116,51 127,63 131,87 140, ,94 117,63 128,80 133,06 142, ,04 118,75 129,97 134,25 143, ,13 119,87 131,14 135,43 144, ,22 120,99 132,31 136,62 145, ,32 122,11 133,48 137,80 147, ,41 123,23 134,64 138,99 148, ,50 124,34 135,81 140,17 149,45 100

7 Tablica wartści krytyczych rzkładu t-studet a dla liczby stpi swbdy kwatyl rzkładu 0,9 0,95 0,975 0,98 0,99 0,995 0,999 0,9995 kwatyl rzkładu 0,9 0,95 0,975 0,98 0,99 0,995 0,999 0,9995 bszar krytyczy 0,1 0,05 0,025 0,02 0,01 0,005 0,001 0,0005 bszar krytyczy 0,1 0,05 0,025 0,02 0,01 0,005 0,001 0,0005 jedstry, \alpha= jedstry, \alpha= bszar krytyczy dwustry, 0,2 0,1 0,05 0,04 0,02 0,01 0,002 0,001 bszar krytyczy dwustry, 0,2 0,1 0,05 0,04 0,02 0,01 0,002 0,001 \alpha= \alpha= =1 (rzkład Cauchy'eg) 3,08 6,31 12,71 15,89 31,82 63,66 318,31 636,63 2 1,89 2,92 4,30 4,85 6,96 9,92 22,3 31,60 3 1,64 2,35 3,18 3,48 4,54 5,84 10,21 12,92 4 1,53 2,13 2,78 3,00 3,75 4,60 7,17 8,61 5 1,48 2,02 2,57 2,76 3,36 4,03 5,89 6,87 6 1,44 1,94 2,45 2,61 3,14 3,71 5,21 5,96 7 1,41 1,89 2,36 2,52 3,00 3,50 4,79 5,41 8 1,40 1,86 2,31 2,45 2,90 3,36 4,50 5,04 9 1,38 1,83 2,26 2,40 2,82 3,25 4,30 4, ,37 1,81 2,23 2,36 2,76 3,17 4,14 4, ,36 1,80 2,20 2,33 2,72 3,11 4,02 4, ,36 1,78 2,18 2,30 2,68 3,05 3,93 4, ,35 1,77 2,16 2,28 2,65 3,01 3,85 4, ,35 1,76 2,14 2,26 2,62 2,98 3,79 4, ,34 1,75 2,13 2,25 2,60 2,95 3,73 4, ,34 1,75 2,12 2,24 2,58 2,92 3,69 4, ,33 1,74 2,11 2,22 2,57 2,90 3,65 3, ,33 1,73 2,10 2,21 2,55 2,88 3,61 3, ,33 1,73 2,09 2,20 2,54 2,86 3,58 3, ,33 1,72 2,09 2,20 2,53 2,85 3,55 3, ,32 1,72 2,08 2,19 2,52 2,83 3,53 3, ,32 1,72 2,07 2,18 2,51 2,82 3,50 3, ,32 1,71 2,07 2,18 2,50 2,81 3,48 3, ,32 1,71 2,06 2,17 2,49 2,80 3,47 3, ,32 1,71 2,06 2,17 2,49 2,79 3,45 3, ,31 1,71 2,06 2,16 2,48 2,78 3,44 3, ,31 1,70 2,05 2,16 2,47 2,77 3,42 3, ,31 1,70 2,05 2,15 2,47 2,76 3,41 3, ,31 1,70 2,05 2,15 2,46 2,76 3,40 3, ,31 1,70 2,04 2,15 2,46 2,75 3,39 3, ,31 1,70 2,04 2,14 2,45 2,74 3,37 3, ,31 1,69 2,04 2,14 2,45 2,74 3,37 3, ,31 1,69 2,03 2,14 2,44 2,73 3,36 3, ,31 1,69 2,03 2,14 2,44 2,73 3,35 3, ,31 1,69 2,03 2,13 2,44 2,72 3,34 3, ,31 1,69 2,03 2,13 2,43 2,72 3,33 3, ,30 1,69 2,03 2,13 2,43 2,72 3,33 3, ,30 1,69 2,02 2,13 2,43 2,71 3,32 3, ,30 1,68 2,02 2,12 2,43 2,71 3,31 3, ,30 1,68 2,02 2,12 2,42 2,70 3,31 3, ,30 1,68 2,02 2,12 2,42 2,70 3,30 3, ,30 1,68 2,02 2,12 2,42 2,70 3,30 3, ,30 1,68 2,02 2,12 2,42 2,70 3,29 3, ,30 1,68 2,02 2,12 2,41 2,69 3,29 3, ,30 1,68 2,01 2,12 2,41 2,69 3,28 3, ,30 1,68 2,01 2,11 2,41 2,69 3,28 3, ,30 1,68 2,01 2,11 2,41 2,68 3,27 3, ,30 1,68 2,01 2,11 2,41 2,68 3,27 3, ,30 1,68 2,01 2,11 2,40 2,68 3,27 3, ,30 1,68 2,01 2,11 2,40 2,68 3,26 3, ,30 1,67 2,00 2,10 2,40 2,67 3,25 3, ,30 1,67 2,00 2,10 2,39 2,66 3,23 3, ,29 1,67 2,00 2,10 2,39 2,65 3,22 3, ,29 1,67 1,99 2,09 2,38 2,65 3,21 3, ,29 1,67 1,99 2,09 2,38 2,64 3,20 3, ,29 1,66 1,99 2,09 2,37 2,64 3,20 3, ,29 1,66 1,99 2,09 2,37 2,63 3,19 3, ,29 1,66 1,99 2,08 2,37 2,63 3,18 3, ,29 1,66 1,99 2,08 2,37 2,63 3,18 3, ,29 1,66 1,98 2,08 2,36 2,63 3,17 3, ,29 1,66 1,98 2,08 2,36 2,62 3,17 3, ,29 1,66 1,98 2,08 2,36 2,62 3,16 3, ,29 1,66 1,98 2,07 2,36 2,61 3,15 3, ,29 1,66 1,98 2,07 2,35 2,61 3,15 3, ,29 1,66 1,98 2,07 2,35 2,61 3,15 3, ,29 1,65 1,97 2,07 2,35 2,61 3,14 3, ,29 1,65 1,97 2,07 2,35 2,61 3,14 3, ,29 1,65 1,97 2,07 2,35 2,60 3,14 3, ,29 1,65 1,97 2,07 2,35 2,60 3,13 3, ,29 1,65 1,97 2,07 2,35 2,60 3,13 3, ,29 1,65 1,97 2,07 2,34 2,60 3,13 3, ,29 1,65 1,97 2,07 2,34 2,60 3,13 3, ,29 1,65 1,97 2,07 2,34 2,60 3,13 3, ,29 1,65 1,97 2,06 2,34 2,60 3,12 3, ,28 1,65 1,97 2,06 2,34 2,60 3,12 3, ,28 1,65 1,97 2,06 2,34 2,59 3,12 3, ,28 1,65 1,97 2,06 2,34 2,59 3,12 3, ,28 1,65 1,97 2,06 2,34 2,59 3,12 3, ,28 1,65 1,97 2,06 2,34 2,59 3,12 3, ,28 1,65 1,97 2,06 2,34 2,59 3,12 3, ,28 1,65 1,97 2,06 2,34 2,59 3,11 3, ,28 1,65 1,97 2,06 2,34 2,59 3,11 3, ,28 1,65 1,97 2,06 2,33 2,59 3,11 3, ,28 1,65 1,96 2,06 2,33 2,59 3,11 3, ,28 1,65 1,96 2,06 2,33 2,58 3,10 3, ,28 1,65 1,96 2,06 2,33 2,58 3,10 3, ,28 1,65 1,96 2,06 2,33 2,58 3,10 3, ,28 1,65 1,96 2,06 2,33 2,58 3,10 3, ,28 1,65 1,96 2,06 2,33 2,58 3,10 3,30 1,28 1,64 1,96 2,05 2,33 2,58 3,09 3,29 (rzkład rmaly)